Возможно Вы вводите его с пробелом, что делать нельзя. Разрешены только цифры, буквы и тире.

Можно ли, чтобы в сообщениях и в статистике отображался не только ник (ссылка) пользователя, но и была возможность добавить свой рисуночек размером с ник пользователя?

Едва ли. Это очень сложно и затратно во многих отношениях.

Многие пользователи заходят на сайт с одного IP адреса. Теперь они не могут авторизоваться на сайте. Как это исправить?

Проверьте права групп Ваших пользователей, в частности привязка сессии к IP: Главная » Пользователи » Группы пользователей » Изменить свойства или права группы: Привязывать сессию к IP адресу (защита от подмены cookies). Отключите её.

Что надо написать в коде, чтобы отображался последний визит пользователя?
Как указать возле ника длительность последнего пребывания на форуме?

Реализовать это не получится. Если уж очень хочется, то прописывайте это время в куках, а потом считывайте. Тогда нагрузка будет не на сервер, а на компьютеры посетителей...

На сайте два администратора. Один из них не может изменить пароль другого: "You are trying to do illegal action!". В чём причина?

Пусть администратор пароль меняет сам. Редактировать запись администратора нельзя.

Что означает "Проверенные пользователи"?

Каждый администратор сайта делает пользователей проверенными по своим усмотрениям и права им выдаёт тоже на своё усмотрение. Права групп настраиваются как вам надо. Как настроите права, тем и будут отличаться. На этом форуме проверенному не надо код безопасности вводить.

Можно ли выделять и менять пользователям квоты дискового пространства?

Нет.

Что нужно изменить в настройках, чтобы администратору не надо было бы проверять и активизировать все поступающие от пользователей материалы на сайт?

Снимите премодерацию. Панель управления >> Пользователи >> Группы пользователей.

У двух пользователей на моём сайте совпадают IP адреса. Я хочу одного забанить, а получается, что двоих! Как быть?

Баньте не по IP, а по нику.

Возможно ли реализовать сценарий, чтобы пользователь не мог видеть определенный пост на форуме, пока у него не будет более десяти сообщений?

Нет. Возможность видеть или не видеть сообщения и отдельные форумы привязана к группе, а не к активности пользователя.

Создана группа, которой даны права администраторов. Но если из этой группы зайти в профиль какого-либо пользователя, то нет ссылки, для редактирования и удаления пользователя. Как можно создать элементы управления для данной группы?

Истинные права администратора может иметь только одна группа - Администраторы, та что "родная", а не вновь созданная.

А можно ли сделать разноцветный логин к примеру: Медведь

Невозможно без скрипта, который сделает это универсально. Логин хранится в базе целиком, так что раскрасить его можно только "на лету". И потом, как отреагируют разные обозреватели - неизвестно...

Можно ли персональную страницу пользователя сделать обычной страницей, а не всплывающим окном?

Можно. Редактируйте шаблон страницы профиля пользователя.

У удаленного пользователя материалы сообщения сохраняются, им приписано его авторство. Что будет с припиской если зарегестрироваться с таким же ником?

Это будет новый пользователь.